Uuuuh, ¿cómo andan tanto tiempo? ¿Bien? Yo también. Vivo, extrañando escribir, y con alguito nuevo para Ochenta Centavos.
Hoy, un pequeño artículo sobre paradojas, y en particular (no podía faltar) un problemita matemático clásico, la Paradoja de Russell. Como soy re piola, puse una paradoja en el título, que si todavía no viste ya vas a ver en el transcurso del post.
Antes que nada, una definición. Una paradoja es una proposición o un conjunto de proposiciones aparentemente inofensivas, que llevan a una contradicción o a un razonamiento circular; o por el contrario, una afirmación que desafía la intuición pero es lógicamente verdadera. O sea, una cagada.
Como anticipé, el título de este post es un ejemplo perfecto de lo primero. Miralo fuerte. Suponiendo que es verdad, entonces miente, no está diciendo la verdad, con lo cual sería mentira que miente, es decir estaría diciendo la verdad, por tanto estaría mintiendo… ¿duh?
¿Curioso, eh? Paradojas con nombre y apellido hay muchas, pero antes de ver más, una pequeña pausa para examinar más este primer ejemplo: un tal Patrick Hughes, que interesantemente no es ni filósofo ni matemático, sino artista, definió tres características de las paradojas de este tipo que me parece simpático rescatar:
- Auto-referencia: este título miente se refiere a sí mismo, y eso causa la circularidad.
- Contradicción: dar valor verdadero a un argumento que se se propone mentiroso a sí mismo, es contradictorio.
- Regresión infinita (que dicho así suena bárbaro): la deducción que surge de analizar esta paradoja eventualmente vuelve sobre el punto de partida, haciéndose infinito el razonamiento. Es lo que comenté antes sobre razonamientos circulares, y se bien claro en el párrafo anterior, en este título miente.
¡En fin! Suficiente introducción. Hora de ensuciarse las manos con algunas paradojas interesantes! Por esta vez van a ser sólo dos, pero prometo más en un post próximo si éste gusta.
1. La Paradoja del Bebedor ▼
Esta paradoja lógica (cómo estoy repitiendo esa palabra!) se la podés comentar a tus amigos cuando estén tomando una cerveza en un bar. Bah, no, olvidate, es mala idea. Mejor conformate con leer esto que está acá:
Hay en el bar una persona tal que, si esa persona está bebiendo, todos en el bar están bebiendo.
No parece verdad ni ahí, ¿no? Veremos de a poco que sí lo es. Por empezar, en todo momento, podemos afirmar lo siguiente sin miedo a equivocarnos: o bien todos en el bar están bebiendo, o bien hay al menos una persona que no está bebiendo. Examinemos los dos casos:
Si todos están bebiendo, entonces no hay nada de malo con señalar a una persona al azar y decir “si esa persona está bebiendo, todos en el bar están bebiendo”, porque sería verdad. Con lo cual la proposición de arriba es verdadera.
Si hay al menos una persona que no está bebiendo, entonces nos quedamos con esa (o con cualquiera de las que no esté bebiendo, si son muchas). Todavía no hay ningún error en decir “si esa persona está bebiendo, entonces todos están bebiendo” — la persona en cuestión no está bebiendo, y por eso la afirmación en sí resulta verdadera. Si no lo ves bien, refraseá así: “cuando ésa persona está bebiendo, todos están bebiendo”. Okay, cuando está bebiendo, pero eso no sucede, no hay razón para desconfiar de la afirmación.
Se ve entonces que en cualquier caso, la proposición resulta ser verdadera: “hay en el bar una persona tal que, si esa persona está bebiendo, todos en el bar están bebiendo”. Para entendidos, este resultado anti-intuitivo surge del significado que tiene la implicación lógica, que se hace verdadera ante un antecedente falso.
2. La Paradoja de Russell ▼
¿Estás listo? Acá vamos, eh! Sea C el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos, es decir:
No hay ningún error en la definición del conjunto, pero considerá lo siguiente: sabemos que o bien C es un elemento de C, o bien C no es un elemento de C. Veamos qué sucede.
Si pensamos que C es elemento de sí mismo, 
y por lo tanto es un conjunto que no es elemento de sí mismo, ¡pero esto es absurdo porque justamente estamos considerando que sí! El absurdo proviene de suponer que C es elemento de sí mismo, por tanto no puede ser verdad: C no puede ser elemento de sí mismo.
Por esa razón debe suceder que, por el contrario (única opción que queda), 
. Entonces, C es un conjunto que no es elemento de sí mismo y por definición debería pertenecer a C. ¡Absurdo nuevamente! El absurdo proviene de suponer que C no es elemento de C, y por lo tanto esto tampoco puede ser verdad: C no puede no ser elemento de sí mismo.
Ahora bien, “C es elemento de C” y “C no es elemento de C” no pueden ser ambas verdaderas (o falsas) simultáneamente. Aquí el problema lógico.
Interesantes, ¿no? Más paradojas en un futuro. Saludos!
Por 
10 4th, 2008 | 
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